初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题

已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.

+ T8 y- r$ m# i/ E" a; K2 P4 H
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1
8 y/ s" o, r, k6 \8 t+ K
- F* U, I8 @  w/ C0 {根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3

代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
4 h0 w9 y1 U) F4 f3 L: O. D
且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0
$ n6 V! f, ~1 c% c, f) W6 y
所以：（3A－B）（A－3B）>=0

' x0 ~' B. `# \7 J所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0

. l8 a) a7 W/ ]3 V$ X. l  X然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)
/ j! `: v( P9 M! N! z- s# u
+ N9 }: |7 }0 V( K' R) _; g% w) o# S..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
/ ]# Y. s% F, l: Dα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
* Q" r5 N9 S* E- Y( g4 N(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
9 s+ x, z* q. _) V+ G(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)

, V- s! s* u) {3 m方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
                            9(A+B)^2-48AB>=0
& Z! C+ Q6 D* E: J& e! d' k5 u. B代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
3 w, _* Q- a! k$ H) o1 {, v& @- k$ j                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
! D) ?5 f5 C: P9 W. r* l5 Z$ o( D因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
                  
                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题
: p3 S$ P5 R/ I) v! _
9 B7 u1 ]2 t; Q0 X0 ~5 H8 u设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
0 W* N  h+ c* T注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
6 B- g9 j. J; F
* v+ q5 m8 ^* k( F根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：
& |- P. d* r3 X& i8 _4 l
5 |- G" V$ F; ?5 |) M. G$ uTN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)

) i( y" L) j  o! k2 k=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0

% n, s! i6 f# J% N8 f& X6 v解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
9 i5 P4 u+ `/ x5 _6 H- Z. jα(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

0 L6 t: T4 K( I' C3 h. X
7 a" U) N, K& r7 l" ?
% v1 f+ U; }! ?
+ q. {) l* A+ w/ s6 Y+ X3 O& @6 T我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
. p: j- N. q7 }" Z! |$ @4 _第七题
% X. L1 ~6 }3 R& @" z
4 i1 q  e9 r( [9 \设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
/ b5 Y: F! U* B6 U" b* I- [& o注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

7 l9 _' E+ {* H/ S) P, a根据韦达定理：A+ ...

2 H5 a+ z$ O( ]* [& E5 q5 C
答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！