初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题
: V( `: o/ }  L( a' }# V; i
; v, M9 m; j  N已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.
4 D4 i1 k9 R( x& \
' r! e8 U9 O" R
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1

) x& t+ d8 X8 h; C3 v1 O3 z! D& {根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3
- C4 X) l5 r! S
  [2 ~6 M8 N7 T/ M代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1

, h7 e' |) l" @7 H* M9 s且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0
$ W! D1 B  ]' ~
所以：（3A－B）（A－3B）>=0

$ F% [6 ^8 d* Y6 N0 y所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0
! V- z4 v" t+ P" Z4 X9 f
& r( t" o7 X  s4 }* f( N然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)
9 @9 N. K2 x& F2 ~( X$ N* I" t7 ^
..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
4 T) g# w+ ]9 f  K) g5 ]- jα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
- A8 `3 [8 b2 L6 U9 Y( ?  K9 xα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
5 u5 f2 k1 M2 x7 P(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)
2 P& v) _) y5 O& C8 g  c% M
6 ^' u! X" p% p/ ?方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
                            9(A+B)^2-48AB>=0
' @$ b+ E) N2 t0 Y- y$ I7 l3 E( E# {代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
; q  K- O/ T8 m5 m+ r                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
- |$ k/ e, X: o$ f. Z4 W因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
                  
                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题
1 \7 k5 t# J8 K' Y0 {: F
设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：

TN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)

=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
# w% k- b" f; m; b8 E: ?2 J
解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
. M7 g3 ^$ i# P3 V(α+β)^2=3αβ+1
3 \0 a% W& F; D: w6 U$ u3 G将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
* R1 c4 I* j) k1 g(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

6 G2 e# r9 W2 s; }
* p, K! g* v3 w4 o1 c

我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
第七题

( O) s' z5 K) f  F" q& @设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
3 c" b0 v( o& R2 d3 g注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

根据韦达定理：A+ ...

: T/ u5 f; v$ @答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！