初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题
, A9 c7 Z! z/ J7 M, z9 t* f
已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
& @- x, R8 @5 f; {这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.

6 z' j% Y* ?+ V" [, X6 V5 ]1 v0 I
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1

! W+ i% a$ h$ G% q; g) b根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3

代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
' Y5 S3 p6 ]" _0 p* o4 ]7 k# o( ~
且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0

所以：（3A－B）（A－3B）>=0
$ j8 Z4 b2 V+ K8 }$ d' d
# J' v7 P! k) ]8 p. K7 @所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0

: f. N. i$ d) p6 c5 n+ P+ e然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)
* g- f9 }* n/ H/ J2 L3 I3 D& A1 @0 ^
' K% |+ n9 t9 J: j: G- E..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
0 g* d$ u" A/ y- @6 n: i( M+ h4 D: k" ]α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
5 a- {; ^2 l& ~6 x, w(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
9 q4 ?; c8 D8 d/ ~% h0 Q3 S(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
5 f- H$ U+ y' P) ^; A(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)

方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
                            9(A+B)^2-48AB>=0
! d1 W# b( ]( k2 D代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
! |$ G( {! J' r( R                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
" u4 Y* R5 k$ k% I7 x因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
                  
7 r1 h) ]# S( q+ W7 S+ O  ?                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题

设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
  z. _  a: D7 b1 P! M+ X" e# H注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
! y5 d/ u; o+ g# J" F% I1 A4 y+ R
7 o9 o% Z3 \$ O% Q5 r  X* ?根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：
2 W2 W. m6 }: j2 z
TN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)
0 S) S  R8 Q: C+ c, [  A/ @( W
=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
' q4 f- W) c* e) [3 ?4 r9 _  N; A
解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
! O: t1 j9 S5 Bα(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
* D- {9 O* }) h% oα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
3 l/ |0 B5 X" J( t6 qα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
% V* ~7 u6 A2 m5 K- e0 J) c将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

! L6 C( V1 h" @
1 B* a# u4 N2 E/ u4 |7 a% w5 I# S

我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
第七题

设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
3 E" O( e5 }7 T* @注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
+ M1 N2 S/ n3 @5 c$ H3 r! V8 b3 h
根据韦达定理：A+ ...

答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！