初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题

已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
' \( v# U5 m+ \. l; `4 P, R  D这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.
4 V. ^1 a. G8 g! Z( M

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1

根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3
9 w7 l+ n+ K0 {; H  V( P3 m# _
( g; N1 N! v+ X, c代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
, I' A3 C7 q" _% O  d) J. x
9 V7 n! s. U- L) l且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0

所以：（3A－B）（A－3B）>=0

1 P8 j6 K; r4 M6 j/ Y9 n所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0

然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)

' C, U1 N8 `3 K0 A..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
$ e+ M1 _0 c) X7 b% ~α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
) y& D1 H/ R( t8 D将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
2 o2 z" {0 L; k(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)

方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
                            9(A+B)^2-48AB>=0
' H4 Z# p  Q8 [; Z* r  o4 E代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
9 c. u% ^; K3 ?: Y3 c" l因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
                  
5 O- ]: l& L6 {) p                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题

# Z7 ^9 y9 P5 q" i2 f设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
4 P, l7 E7 }$ x7 ?  g注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
" `& ^' ^; Q$ p2 @1 b- K5 E; n
根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：
" D( `4 \' u4 a' D& |6 L
TN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)
' B* u  i% ]: o8 e
=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
. j, a) m8 o2 G- H
+ A+ B7 F% k# h) S2 I% [% E解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
4 P& T4 Q0 J  Qα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
4 P2 q  H# u' J(α+β)^2=3αβ+1
* r1 K# U8 U0 l) @, x! E: w将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

+ F" l' \! N9 @/ e, n+ U* R5 [

& B- a& Y$ ?9 ^
. B. ]8 J" x5 T$ h9 l我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
  f: _$ t5 k! D! @. r5 J" O  P第七题
. C- y1 A  y9 P2 t
9 n+ K% \+ q0 x/ {设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
" R' ~2 h" c* ^2 `( x6 y/ B. X注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
- t  i  |, R; I: p1 U7 C' f
# `2 _' c( v9 l5 ~根据韦达定理：A+ ...

: f! }1 ~. x9 ^0 p+ f8 N
答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！