初三数奥题——有奖解答（更新六七题）

ＬＯＶＥ梁静茹

第六题
; o- v) n: }* F5 J2 u( f3 G
$ N$ O) \3 v  ]2 g已知A,B均为整数且A大于B,关于X的方程3X⒉+3(A+B)X+4AB=0的两根.α.β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).试求所有满足条件的整数对(A,B)
这题目闹腾。.我都没多想懒得算了。.
0 G; s" Q0 d9 ^
( ?8 g2 i7 {5 L. ?2 R2 z% |
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1).化简得：α⒉＋β⒉＝αβ＋1  然后得：（α＋β）⒉－2αβ＝αβ＋1
$ z* C6 M+ `9 \4 ^% i/ u
根据韦达定理：α＋β＝－（A+B）； αβ＝4AB/3

代入得：[-（A+B）]⒉－4AB=1   即：（A－B）⒉＝1   即：A－B＝＋－1 因为A比B大，所以A－B＝1
3 a- v% X% {; t* O- B% L" \
且[3(A+B)]⒉－48AB>=0    化简得：3A⒉＋3B⒉－10AB>=0
3 G$ ?2 j' M% }' x1 L
所以：（3A－B）（A－3B）>=0
( m* D4 h) s1 ^& d& x5 Y
所以：    3A－B>=0 且A－3B>=0             或者：3A－B<=0 且 A－3B<=0

$ c* |" i3 R' k% \2 u3 @2 H9 }! s然后就不知道怎么算了………………

某青°

这个题的答案是(1,0)(0,-1)
9 j6 m* n; }4 q
0 v0 }& p- R3 J" ?/ ?1 R..

ＬＯＶＥ梁静茹

我看后面只能靠猜了………………

ＬＯＶＥ梁静茹

我最擅长的方法就是特殊值代入法和排除法！！！

fiend

α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
  v. P1 U6 [* v1 S' xα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
1 s: h# ~& g* C% }% zα^2+β^2+2αβ=3αβ+1
+ m( o; j+ ^8 ~9 @3 {- t$ X. U+ {(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1----------------------------------------------------------------(1)
) |2 x, r* n0 [(A-B)^2=1,A>B,A-B=1--------------------------------------------------------(2)

方程有两实根，[3(A+B)]^2-4*3*4AB>=0
                            9(A+B)^2-48AB>=0
2 i' ]* V! [1 y& R' E) I+ a代入(1)得          36AB+9-48AB>=0
                                               AB<=3/4-------------------------------------(3)
& I# Y+ d" k/ O# ^4 v因为A,B均为整数，根据条件(2),(3)可穷举出满足此条件的只有A=1,B=0;A=0,B=-1.
: i+ x; O  ?7 u# I                  
9 F& H( k& m9 {! J1 B                           

ＬＯＶＥ梁静茹

第七题

设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..
* W% R) M' B$ {8 }0 _0 j$ H! O
) ~% k- {' X. b, a6 D- J根据韦达定理：A+B=-P ; AB=Q 代入得：
- {. |6 u& x! v3 Q' L! E0 o) n7 k: V
TN+PT(N-1)+QT(N-2)=A的N次方+B的N次方-(A+B)(A的N-1次方+B的N-1次方) +AB(A的N-2次方+B的N-2次方)

=A的N次方+B的N次方-(A的N次方+B的N次方+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方)+B×A的N-1次方+A×B的N-1次方=0
0 Y( S( @' {7 E( C9 V9 V
解答完毕！！

ＬＯＶＥ梁静茹

原帖由 fiend 于 2007-8-9 18:10 发表
+ z' `* v3 @* {( I# Eα(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)
) o3 m+ D% I; yα^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2+2αβ=3αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
将α+β=-(A+B),αβ=4AB/3代入
(A+B)^2=4AB+1--------------------------------------------- ...

8 a: Z" B" X, v8 e) }, f


我忘记可以代入1了！！！！

fiend

原帖由 ＬＯＶＥ梁静茹 于 2007-8-9 18:15 发表
% z6 M7 s2 k9 X' ^) C( a第七题

* h" h& n7 _  _( \$ _设方程X⒉+PX+Q=0的两实根为A,B且令T1=A+B,T2=A⒉+B⒉…TN=A的N次方+B的N次方,则当N≥3时.TN+PT(N-1)+QT(N-2)=
注.求和的这个式子.括号内的是下脚标.前面的TN那个N也是下脚标..

根据韦达定理：A+ ...

& ]# p  b3 \6 p
答案是0,正解!

ＬＯＶＥ梁静茹

这种题答案肯定是特殊值！！！

ＬＯＶＥ梁静茹

赶快更新8，9题吧！！！